Algebra Relacional

El álgebra relacional

Es un conjunto de operaciones que describen paso a paso cómo computar una respuesta sobre las relaciones, tal y como éstas son definidas en el modelo relacional. Denominada de tipo procedimental, a diferencia del Cálculo relacional que es de tipo declarativo.

Operaciones Básicas

Cada operador del álgebra acepta una o dos relaciones y retorna una relación como resultado. σ y Π son operadores unarios, el resto de los operadores son binarios. Las operaciones básicas del álgebra relacional son:

• Selección - restricción (σ)

Permite seleccionar un subconjunto de tuplas de una relación (R), todas aquellas que cumplan la(s) condición(es) P, esto es:

${\displaystyle \sigma _{P}(R)\!}$

Ejemplo:

${\displaystyle \sigma _{Apellido=Gomez}(Alumnos)\!}$

Selecciona todas las tuplas que contengan Gómez como apellido en la relación Alumnos.

Una condición puede ser una combinación booleana, donde se pueden usar operadores como: ${\displaystyle \wedge }$ , ${\displaystyle \vee }$, combinándolos con operadores ${\displaystyle <,>,\leq ,\geq ,=,\neq }$.

• Proyección (Π)

Permite extraer columnas (atributos) de una relación, dando como resultado un subconjunto vertical de atributos de la relación, esto es:

${\displaystyle \Pi _{A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}\!}$

donde ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}}$ son atributos de la relación R .

Ejemplo:

${\displaystyle \Pi _{Apellido,Semestre,NumeroControl}(Alumnos)\!}$

Selecciona los atributos Apellido, Semestre y NumeroControl de la relación Alumnos, mostrados como un subconjunto de la relación Alumnos

• Producto cartesiano (x)

El producto cartesiano de dos relaciones se escribe como:

${\displaystyle R\times S}$

y entrega una relación, cuyo esquema corresponde a una combinación de todas las tuplas de R con cada una de las tuplas de S, y sus atributos corresponden a los de Rseguidos por los de S.

Ejemplo:

${\displaystyle Alumnos\times Maestros}$

Muestra una nueva relación, cuyo esquema contiene cada una de las tuplas de la relación Alumnos junto con las tuplas de la relación Maestros, mostrando primero los atributos de la relación Alumnos seguidos por las tuplas de la relación Maestros.

• Unión (∪)

La operación

${\displaystyle R\cup S}$

retorna el conjunto de tuplas que están en R, o en S, o en ambas. R y S deben ser uniones compatibles.

• Diferencia (-)

La diferencia de dos relaciones, R y S denotada por:

${\displaystyle R-S\!}$

entrega todas aquellas tuplas que están en R, pero no en S. R y S deben ser uniones compatibles.

Estas operaciones son fundamentales en el sentido en que (1) todas las demás operaciones pueden ser expresadas como una combinación de éstas y (2) ninguna de estas operaciones pueden ser omitidas sin que con ello se pierda información.

No básicas o Derivadas

Entre los operadores no básicos tenemos:

Intersección (∩)

La intersección de dos relaciones se puede especificar en función de otros operadores básicos:

${\displaystyle R\cap S=R-(R-S)}$

La intersección, como en Teoría de conjuntos, corresponde al conjunto de todas las tuplas que están en R y en S, siendo R y S uniones compatibles.

Unión natural (⋈) (Natural Join)

La operación unión natural en el álgebra relacional es la que permite reconstruir las tablas originales previas al proceso de normalización. Consiste en combinar las proyección, selección y producto cartesiano en una sola operación, donde la condición ${\displaystyle \theta }$ es la igualdad Clave Primaria = Clave Externa (o Foránea), y la proyección elimina la columna duplicada (clave externa).

Expresada en las operaciones básicas, queda

${\displaystyle R\bowtie S=\Pi _{A1,A2...An}(\sigma _{\theta }(R\times S))}$

Una reunión theta ( θ-Join) de dos relaciones es equivalente a:

${\displaystyle R\bowtie _{\theta }S=\sigma _{\theta }(R\times S)}$

donde la condición ${\displaystyle \theta }$ es libre.

Si la condición ${\displaystyle \theta }$ es una igualdad se denomina EquiJoin.

División (/)

Supongamos que tenemos dos relaciones A(x, y) y B(y) donde el dominio de y en A y B, es el mismo.

El operador división A / B retorna todos los distintos valores de x tales que para todo valor y en B existe una tupla ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ en A.

Agrupación (Ģ)

Permite agrupar conjuntos de valores en función de un campo determinado y hacer operaciones con otros campos.

Por ejemplo: Ģ _{sum(puntos) as Total Equipo} (PARTIDOS).

Ejemplo:

Mostrar los nombres de los alumnos y su apoderado

Primero, realizaremos una combinación entre alumnos y apoderados (pues necesitamos saber a que alumno le corresponde tal apoderado). La combinación realizará un producto cartesiano, es decir, para cada tupla de alumnos (todas las filas de alumnos) hará una mezcla con cada una tupla de apoderados y seleccionará aquellas nuevas tuplas en que alumnos.id sea igual a apoderados.id_alumno, esto es:

ID (alumno)	NOMBRE (alumno)	CIUDAD	EDAD	ID (apoderado)	NOMBRE (apoderado)	FONO	ID_ALUMNO
01	Pedro	Santiago	14	054	Víctor	654644	21
01	Pedro	Santiago	14	457	José	454654	11
01	Pedro	Santiago	14	354	María	997455	31
01	Pedro	Santiago	14	444	Paz	747423	01
11	Juan	Buenos Aires	18	054	Víctor	654644	21
11	Juan	Buenos Aires	18	457	José	454654	11
11	Juan	Buenos Aires	18	354	María	997455	31
11	Juan	Buenos Aires	18	444	Paz	747423	01
21	Diego	Lima	12	054	Víctor	654644	21
21	Diego	Lima	12	457	José	454654	11
21	Diego	Lima	12	354	María	997455	31
21	Diego	Lima	12	444	Paz	747423	01
31	Rosita	Concepción	15	054	Víctor	654644	21
31	Rosita	Concepción	15	457	José	454654	11
31	Rosita	Concepción	15	354	María	997455	31
31	Rosita	Concepción	15	444	Paz	747423	01
41	Manuel	Lima	17	054	Víctor	654644	21
41	Manuel	Lima	17	457	José	454654	11
41	Manuel	Lima	17	354	María	997455	31
41	Manuel	Lima	17	444	Paz	747423	01

Por tanto, el resultado final de la combinación es:

Alumnos ${\displaystyle \bowtie }$${\displaystyle {}_{Alumnos.ID{\mbox{ }}={\mbox{ }}Apoderados.ID\_ALUMNO}}$ Apoderados

ID (alumno)	NOMBRE (alumno)	CIUDAD	EDAD	ID (apoderado)	NOMBRE (apoderado)	FONO	ID_ALUMNO
01	Pedro	Santiago	14	444	Paz	747423	01
11	Juan	Buenos Aires	18	457	José	454654	11
21	Diego	Lima	12	054	Víctor	654644	21
31	Rosita	Concepción	15	354	María	997455	31

Ahora, aquí debemos mostrar solo el nombre del alumno y el nombre del apoderado, esto lo hacemos con un Proyect o Proyección, donde la tabla final sería:

${\displaystyle \Pi _{Alumnos.NOMBRE,Apoderados.NOMBRE}}$

NOMBRE (alumno)	NOMBRE (apoderado)
Pedro	Paz
Juan	José
Diego	Víctor
Rosita	María